13228. Отрезки CM
и CL
— соответственно медиана и биссектриса треугольника ABC
, точка S
на стороне AB
такова, что \angle MCL=\angle LCS
(точка L
лежит между M
и S
). Найдите LS
, если AB=14
и BL=6
.
Ответ. 0{,}96
.
Указание. См. задачу 4121.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BC}{AC}=\frac{BL}{AL}=\frac{BL}{AB-BL}=\frac{6}{14-6}=\frac{3}{4}.
Поскольку CS
— симедиана треугольника ABC
, то по теореме Штейнера (см. задачу 4121)
\frac{BS}{AS}=\frac{BC^{2}}{AC^{2}}=\frac{9}{16}~\Rightarrow~BS=\frac{9}{25}AB=\frac{9}{25}\cdot14=5{,}04.
Следовательно,
LS=BL-BS=6-5{,}04=0{,}96.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2019, предварительный этап, задача 8, 10 класс