13229. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AB
, BC
и CA
в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
соответственно. Отрезок BB_{1}
повторно пересекает окружность в точке K
. Известно, что AB=BC=5
, AC=6
. Найдите BK
.
Ответ. 1.
Решение. Поскольку треугольник равнобедренный, точка B_{1}
касания вписанной окружности с основанием AC
— середина отрезка AC
, а BB_{1}
— высота треугольника ABC
. Тогда
BB_{1}=\sqrt{AB^{2}-AB_{1}^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
BC_{1}=p-AC=\frac{5+5+6}{2}-6=2.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
4=BC_{1}^{2}=BB_{1}\cdot BK=4BK.
Следовательно, BK=1
.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2017, предварительный этап, задача 5, 11 класс