13230. В треугольнике ABC
стороны AB=10
, AC=24
и BC=26
. В треугольнике проведены медианы AM
и CN
. Точка I
лежит на стороне AC
, при этом BI
— биссектриса треугольника ABC
. Найдите площадь треугольника MNI
.
Ответ. 30.
Решение. Поскольку
BC^{2}=26^{2}=10^{2}+24^{2}=AB^{2}+AC^{2},
треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине A
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AI}{IC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}~\Rightarrow~\frac{AI}{AC}=\frac{5}{18},~\frac{CI}{AC}=\frac{13}{18}.
Пусть S
, S_{A}
, S_{B}
, S_{C}
и s
— площади треугольников ABC
, AIN
, BMN
, CIM
и MNI
соответственно. Тогда (см. задачу 3007)
S_{A}=\frac{AI}{AC}\cdot\frac{AN}{AB}S=\frac{5}{13}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{5}{36}S,~
S_{B}=\frac{BN}{BA}\cdot\frac{BM}{BC}S=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}S,
S_{C}=\frac{CI}{CA}\cdot\frac{CM}{CB}S=\frac{13}{18}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{13}{36}S.
Следовательно,
s=S-S_{A}-S_{B}-S_{C}=S-\frac{5}{36}S-\frac{1}{4}S-\frac{13}{36}S=
=S\left(1-\frac{5}{36}-\frac{1}{4}-\frac{13}{36}\right)=S\cdot\frac{36-5-9-13}{36}=\frac{1}{4}S=
=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot10\cdot24=\frac{1}{4}\cdot120=30.