13256. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Точка J
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Точки M
и N
— середины отрезков JD
и JE
соответственно. Прямые BM
и CN
пересекаются в точке P
. Докажите, что P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон AB
и AC
соответственно. Тогда (см. задачи 219 и 1750)
BD=p-AC=AC_{1}-AC=CC_{1}.
Аналогично, CE=BB_{1}
, поэтому DB_{1}=EC_{1}
.
Прямоугольные треугольники DB_{1}J
и EC_{1}J
равны по двум катетам, поэтому DJ=EJ
. Тогда DM=EN
. Медиана C_{1}N
прямоугольного треугольника EC_{1}J
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы EJ
, поэтому
C_{1}N=EN=DM~\mbox{и}~\angle CC_{1}N=\angle CEN=\angle MDB.
Значит, треугольники CC_{1}N
и BDM
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle PBA=\angle MBD=\angle NCC_{1}=180^{\circ}-\angle PCA.
Следовательно, четырёхугольник ABPC
вписанный, т. е. P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.