13276. Внутри треугольника ABC
находится окружность \omega
, касающаяся стороны BC
в той же точке, что и вписанная в треугольник ABC
окружность. Из точек B
и C
к окружности \omega
проведены касательные, пересекающиеся в точке K
и пересекающие стороны AC
и AB
в точках P
и M
. Докажите, что в четырёхугольник APKM
можно вписать окружность.
Решение. Достаточно доказать, что CK+AB=BK+AC
(см. задачу 1349).
Пусть D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
, а прямые BP
и CM
касаются окружности \omega
в точках соответственно F
и E
, отличных от D
. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, KF=KE=x
, \frac{a+b+c}{2}=p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
BF=BD=p-b,
поэтому
BK+AC=BF+FK=(p-b+x)+b=p+x.
Аналогично получим, что
CK+AB=p+x.
Значит,
CK+AB=BK+AC.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 888, с. 109