13289. На плоскости даны две окружности \omega_{1}
и \omega_{1}
, касающиеся внешним образом. На окружности \omega_{1}
выбран диаметр AB
, а на окружности \omega_{2}
выбран диаметр CD
. Рассмотрим всевозможные положения точек A
, B
, C
и D
, при которых ABCD
— выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть I
— центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек I
.
Ответ. Точка касания окружностей.
Решение. Поскольку четырёхугольник ABCD
описанный, суммы его противоположных сторон равны, т. е. AD+BC=AB+CD
(см. задачу 310). Пусть M
и N
центры окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно, P
— точка касания окружностей. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому
MN=PM+PN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(AD+BC).
Следовательно, BC\parallel AD
(см. задачу 3556), т. е. ABCD
— трапеция или параллелограмм.
Точка P
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle APB=90^{\circ}
, а PM
— медиана прямоугольного треугольника APB
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, PM=\frac{1}{2}AB=AM
, т. е. треугольник AMP
равнобедренный. Тогда
\angle PAM=\angle APM=\angle PAD,
поэтому AP
— биссектриса угла BAD
. Аналогично, BP
, CP
и DP
— биссектрисы углов соответственно ABC
, ADC
и BCD
четырёхугольника ABCD
. Следовательно, P
— центр окружности, вписанной в этот четырёхугольник.
Обратно, для точки P
найдутся такие диаметры AB
и CD
окружностей \omega_{1}
и \omega_{1}
, что точка P
будет центром окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
. Действительно, если r
— меньший из радиусов данных окружностей, то проведём две прямые, параллельные линии центров, на расстояниях, меньших r
от линии центров. Пусть первая прямая пересекает окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
в последовательно расположенных точках A
, K
, M
и D
, а вторая — в последовательно расположенных точках L
, B
, C
и N
. Тогда AKBL
и DMCN
— прямоугольники, поэтому AB
и CD
— диаметры окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. С помощью приведённых выше рассуждений докажем, что P
— точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника ABCD
.
Следовательно, искомое ГМТ состоит из одной точки — точки касания окружностей \omega_{1}
и \omega_{1}
.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2023, LXXXVI, № 5, 10 класс