13308. В треугольнике ABC
, основание AB
которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты AM
и BN
. Найдите AB
, если известны координаты точек M(2;2)
и N(4;4)
.
Ответ. 4\sqrt{5}
.
Решение. Из точек M
и N
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Центр D
этой окружности, т. е. середина отрезка AB
, равноудалён от точек M
и N
, поэтому точка D
лежит на серединном перпендикуляре l
к отрезку MN
. Уравнение прямой l
имеет вид y=6-x
(см. задачи 4243 и 4205), а так как D
— точка пересечения прямой l
с осью абсцисс, то точка D
имеет координаты D(6;0)
.
Точка D
равноудалена от точек A
, B
, M
и N
. Значит,
DA=DB=DM=DN=\sqrt{(4-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.
Следовательно,
AB=2DA=4\sqrt{5}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 2, вариант 1, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 120