13312. В треугольнике ABC
проведены высоты BM
и CN
, при этом BC=4
, MN=2
. В треугольник вписана окружность с центром O
. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус окружности, описанной около треугольника BOC
?
Ответ. 4.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
(см. задачу 1140),
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BOC}=\frac{4}{2\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2}{\cos\frac{\alpha}{2}}.
Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом |\cos\alpha|
(см. задачу 19), поэтому
|\cos\alpha|=\frac{MN}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Значит, \alpha=60^{\circ}
или \alpha=120^{\circ}
. В первом случае
R=\frac{2}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}},
во втором —
R=\frac{2}{\cos60^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\gt\frac{4}{\sqrt{3}}.
Такой треугольник существует: например, равнобедренный треугольник с основанием 4 и противолежащим углом 120^{\circ}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 6, вариант 6, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 124