13364. Треугольник ABC
вписан в окружность \omega_{1}
с центром O
. Окружность \omega_{2}
касается сторон AB
, AC
и касается дуги BC
описанной окружности в точке K
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что прямая OI
содержит симедиану треугольника AIK
.
Указание. См. задачи 10684 и 10341.
Решение. Пусть M
, N
— середины дуг BC
и BAC
описанной окружности треугольника ABC
. Точка K
касания описанной и полувписанной окружностей лежит на прямой NI
(см. задачу 10684). Кроме того, точка I
лежит на прямой AM
. Значит, треугольники IMN
и IKA
подобны, причём отрезки MN
и KA
антипараллельны. Тогда продолжение симедианы OI'
треугольника AIK
проходит через середину O
отрезка MN
(см. задачу 10341). Что и требовалось доказать.
Автор: Фадин М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2022, XVIII, заочный тур, задача 10, 8-9 классы