13386. Окружность \omega
касается стороны AC
правильного треугольника ABC
в точке D
, а его описанной окружности — в точке E
, лежащей на дуге BC
. Докажите что из отрезков AD
, BE
и CD
можно составить треугольник, у которого разность каких-то двух углов равна 60^{\circ}
.
Решение. Пусть T
— середина меньшей дуги AC
. Из леммы Архимеда о сегменте (см. задачу 89) следует, что точки E
, D
и T
лежат на одной прямой, причём
\angle CET=\angle CBT=30^{\circ}.
Отметим на стороне AC
точку D
, для которой CD=CK
. В равнобедренном треугольнике CKD
угол при вершине C
равен 60^{\circ}
, поэтому треугольник CKD
правильный. Значит, \angle CKD=60^{\circ}
, а так как \angle CED=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle CKD
и KD=KC
, то K
— центр окружности, проходящей через точки C
, E
и D
(см. задачу 2900). Тогда
KE=KC=CD,~BK=BC-CK=AC-CD=AD,
\angle CEK=\angle BCE,
\angle BEK-\angle KBE=(\angle BEC-\angle BCE)-\angle CBE=
=(\angle BEC-\angle CEK)-\angle CBE=\angle BEC-(\angle ECK+\angle CBE)=
=\angle BEC-(\angle ECB+\angle CBE)=\angle BEC-(180^{\circ}-\angle BEC)=
=2\angle BEC-180^{\circ}=2\cdot120^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник BEK
— искомый.