13427. Даны окружность \omega
и не лежащая на ней точка P
. Пусть ABC
— произвольный правильный треугольник, вписанный в \omega
, а точки A'
, B'
, C'
— проекции точки P
на прямые BC
, CA
, AB
. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников A'B'C'
Ответ. Середина отрезка OP
, где O
— центр данной окружности.
Решение. Проведём через центр O
окружности \omega
прямые a
, b
, c
, параллельные соответственно прямым BC
, CA
, AB
, и опустим на них перпендикуляры PA''
, PB''
, PC''
. Заметим, что точки A''
, B''
, C''
лежат на окружности с диаметром OP
и
\angle A''C''B''=\angle A''PB''=60^{\circ}.
Аналогично, для угла A''C''B''
. Следовательно, треугольник A''C''B''
равносторонний и его центр тяжести совпадает с серединой M
отрезка OP
.
Докажем, что тяжести треугольника A'C'B'
находится в той же точке. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, CA
, AB
треугольника ABC
. Точка O
— центр тяжести треугольника ABC
, поэтому
\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4503), а так как
\overrightarrow{A'A''}=-\overrightarrow{OA_{1}},~\overrightarrow{B'B''}=-\overrightarrow{OB_{1}},~\overrightarrow{C'C''}=-\overrightarrow{OC_{1}},~
то
\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''}=-\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OB_{1}}-\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Значит,
\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC'}=(\overrightarrow{MA''}-\overrightarrow{A'A''})+(\overrightarrow{MB''}-\overrightarrow{B'B''})+(\overrightarrow{MC''}-\overrightarrow{C'C''})=
=(\overrightarrow{MA''}+\overrightarrow{MB''}+\overrightarrow{MC''})-(\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''})=
=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, M
— центр тяжести треугольника A'B'C'
(см. примечание к задаче 4502)