13438. Сторона AD
четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность, равна 5. Точка M
делит эту сторону в отношении AM:MD=1:4
, а прямые MC
и MB
параллельны сторонам AB
и CD
соответственно. Найдите сторону BC
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Из условия следует что AM=1
и MD=4
.
Пусть луч BM
пересекает описанную окружность четырёхугольника ABCD
в точке K
. Тогда хорды CD
и BK
параллельны, поэтому BCDK
— равнобедренная трапеция (см. задачу 5003). Значит, KD=BC
и
\angle MKD=\angle BKD=\angle KBC=\angle MBC.
Из параллельности AB
, MC
и теоремы о вписанных углах следует, что
\angle BMC=\angle ABM=\angle ABK=\angle ADK.
Значит, треугольники MKD
и CBM
подобны по двум углам. Тогда
\frac{KM}{BC}=\frac{DK}{MB}=\frac{BC}{MB},
откуда BC^{2}=KM\cdot MB
.
С другой стороны, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
KM\cdot MB=AM\cdot MD=1\cdot4=4.
Значит, BC^{2}=4
. Следовательно, BC=2
.
Второй способ. Обозначим \angle DCM=\alpha
, \angle CDM=\beta
и \angle CMD=\gamma
. По свойству параллельных прямых
\angle ABM=\angle BMC=\angle DCM=\alpha,~\angle BAM=\angle CMD=\gamma,
\angle AMB=\angle CDM=\beta.
Пусть \angle BCM=x
и \angle CBM=y
. По свойству вписанного четырёхугольника
x+\alpha=180^{\circ}-\gamma,
а так как
(\alpha+x)+y=180^{\circ},
то
180^{\circ}-\gamma+y=180^{\circ}~\Rightarrow~y=\gamma.
Тогда
x=180^{\circ}-\alpha-y=180^{\circ}-\alpha-\gamma=\beta.
Таким образом, треугольники BMA
, MCB
и CDM
подобны.
Обозначим AB=p
и BM=q
. Тогда треугольники CDM
и BMA
подобны с коэффициентом \frac{MA}{DM}=4
, поэтому CM=4BA=4p
и CD=4BM=4q
. Треугольники BMA
и MCB
подобны с коэффициентом \frac{AB}{BM}=\frac{p}{q}
, поэтому \frac{p}{q}=\frac{q}{4p}
, откуда
q^{2}=4p^{2}~\Rightarrow~q=2p.
Значит, треугольники MCB
и BMA
подобны с коэффициентом \frac{MB}{AB}=\frac{2p}{p}=2
. Следовательно,
BC=2AM=2\cdot\frac{1}{5}AD=2\cdot\frac{1}{5}\cdot5=2.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, ноябрь 2023, закл. тур, компл. 2, 11 класс, задача 6, вариант 1