13438. Сторона AD
четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность, равна 5. Точка M
делит эту сторону в отношении AM:MD=1:4
, а прямые MC
и MB
параллельны сторонам AB
и CD
соответственно. Найдите сторону BC
.
Ответ. 2.
Решение. Из условия следует что AM=1
и MD=4
.
Пусть луч BM
пересекает описанную окружность четырёхугольника ABCD
в точке K
. Тогда хорды CD
и BK
параллельны, поэтому BCDK
— равнобедренная трапеция (см. задачу 5003). Значит, KD=BC
и
\angle MKD=\angle BKD=\angle KBC=\angle MBC.
Из параллельности AB
, MC
и теоремы о вписанных углах следует, что
\angle BMC=\angle ABM=\angle ABK=\angle ADK.
Значит, треугольники MKD
и CBM
подобны по двум углам. Тогда
\frac{KM}{BC}=\frac{DK}{MB}=\frac{BC}{MB},
откуда BC^{2}=KM\cdot MB
.
С другой стороны, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
KM\cdot MB=AM\cdot MD=1\cdot4=4.
Значит, BC^{2}=4
. Следовательно, BC=2
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023, заключительный тур, задача 6, вариант 1