13449. В остроугольном треугольнике ABC
отрезок BM
— медиана, точка H
— ортоцентр, точка P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки H
на прямую BM
. Докажите, что BM\cdot MP=AM^{2}
.
Решение. Пусть точки Q
и G
симметричны относительно точки M
точкам P
и H
соответственно. Тогда G
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, и BG
— диаметр этой окружности (см. задачу 6300). Кроме того, угол GQM
симметричен прямому углу HPM
, поэтому \angle GQM=90^{\circ}
. Угол BQG
прямой, а BG
— диаметр, поэтому точка Q
лежит на той же окружности. При этом по построению MQ=MP
. Следовательно, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
BM\cdot MP=BM\cdot MQ=AM\cdot CM=AM^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, задача 5.2, 10 класс