13456. В треугольнике ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине B
точка O
— центр описанной окружности. Биссектриса BL
треугольника пересекает описанную окружность в точке W
. Докажите, что прямая OW
касается окружности, описанной около треугольника BOL
.
Решение. Первый способ. Точки O
и W
симметричны относительно прямой AC
, поскольку
\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ}=180^{\circ}-\angle ABC=\angle AWC,
а также OA=OC
и WA=WC
.
Тогда \angle WOL=\angle LWO
, а так как
\angle LWO=\angle BWO=\angle OBW.
то \angle WOL=\angle OBL
. Следовательно, прямая OW
— касательная к окружности, описанной около треугольника BOL
(см. задачу 144).
Второй способ. Докажем, что WO^{2}=WL\cdot WB
, откуда и будет следовать утверждение задачи (см. задачу 4776).
В первом способе решения мы фактически доказали, что AOCW
— ромб с углом 120^{\circ}
, поэтому треугольник OCW
равносторонний, и WO=WC
. Кроме того,
\angle WCL=\angle WCA=\angle WBA=\angle WBC,
значит, WC
— касательная к окружности, описанной около треугольника BLC
(см. задачу 144). Тогда WC^{2}=WL\cdot WB
, поэтому WO^{2}=WC^{2}=WL\cdot WB
. Следовательно, прямая OW
касается окружности, описанной около треугольника BOL
.