13473. Точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, а точки D
, E
, F
— проекции точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно (известно, что эти точки лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABC
и точки P
, см. задачу 83). Постройте точку P
, для которой точка E
— середина отрезка DF
.
Решение. Предположим, задача решена, и пусть DEF
— прямая Симсона точки P
. Из точек D
и E
отрезок CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CP
, и четырёхугольник PCDE
вписанный. Тогда
PE=PC\sin\angle PCE=PC\sin\angle PDE,
По теореме синусов из треугольника DEP
получаем
PC=\frac{PE}{\sin\angle PDE}=\frac{DE}{\sin\angle DPE}=\frac{DE}{\sin\angle DCE}=\frac{DE}{\sin\angle C},
откуда DE=PC\sin\angle C
. Аналогично FE=PA\sin\angle A
, а так как ED=EF
, то по теореме синусов из треугольника ABC
получаем
\frac{AP}{PC}=\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}=\frac{AB}{BC}.
Таким образом, точка P
лежит на окружности Аполлония отрезка AC
и фиксированного отношения \frac{AB}{AC}
(построение такой окружности в задаче 1826). Следовательно, P
— точка пересечения окружности Аполлония и описанной окружности треугольника ABC
.
Примечание. Аналогично решается более общая задача построения точки P
на описанной окружности треугольника ABC
, для которой DE=kEF
, где k
— фиксированное положительное число.