13480. Окружности \Omega
и \Omega_{1}
касаются внешним образом. В окружность \Omega
вписан равносторонний треугольника ABC
. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, лежащие на окружности \Omega_{1}
, таковы, что AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— касательные к окружности \Omega_{1}
. Докажите, что один из отрезков AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
равен сумме двух других.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры, а R
и R_{1}
— радиусы окружностей \Omega
и \Omega_{1}
соответственно, T
— их точка касания. Предположим без ограничения общности, что точка T
лежит на меньшей дуге AB
окружности \Omega
. Тогда
AT+BT=CT
(см. задачу 17).
Продолжим AT
до вторичного пересечения с окружностью \Omega_{1}
в точке D
. Равнобедренные треугольники AOT
и TOD
подобны с коэффициентом \frac{R}{R_{1}}
, поэтому
\frac{AD}{AT}=\frac{R+R_{1}}{R}~\Rightarrow~AD=AT\cdot\frac{R+R_{1}}{R}.
Тогда по теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AA_{1}=\sqrt{AT\cdot AD}=\sqrt{AT\cdot AT\cdot\frac{R+R_{1}}{R}}=AT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}.
Аналогично,
BB_{1}=BT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}},~CC_{1}=CT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}.
Следовательно,
CC_{1}=CT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}=(AT+BT)\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}=
=AT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}+BT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}=AA_{1}+BB_{1}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 2, задача 1501 (1990, с. 19), с. 62