13560. Прямая, содержащая высоту треугольника ABC
, проведённую из вершины B
, пересекает окружность с диаметром AC
в точках P
и Q
, а прямая, содержащая высоту, проведённую из вершины C
, пересекает окружность с диаметром AB
в точках M
и N
. Докажите, что точки M
, N
, P
, Q
лежат на одной окружности.
Решение. Прямая, содержащая диаметр окружности, является серединным перпендикуляром к перпендикулярной ей хорде, поэтому AM=AN
и AP=PQ
.
Пусть BE
и CF
— высоты треугольника ABC
. Тогда точки B
, C
, E
и F
лежат на окружности с диаметром BC
, поэтому AF\cdot AB=AE\cdot AC
(см. задачу 2636).
Отрезок NF
— высота прямоугольного треугольника ANB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AN^{2}=AF\cdot AB
(см. задачу 2728). Аналогично, AQ^{2}=AE\cdot AC
. Из этих равенств получаем, что AN=AQ
. Следовательно, точки M
, N
, P
, Q
лежат на окружности с центром A
и радиусом AN
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, а радиус окружности, проходящей через точки M
, N
, P
, Q
, равен \rho
.
По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc},
Значит,
\rho^{2}=AN^{2}=AF\cdot AB=bc\cos\alpha=bc\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}.
Следовательно, \rho=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 6, задача 6, с. 196
Источник: Математические олимпиады США. — 1990, задача 5