13576. Точка M
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Описанная окружность треугольника AMB
пересекает отрезки BC
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что CM\perp PQ
.
Решение. Пусть прямые CM
и PQ
пересекаются в точке N
. Проведём высоту CH
треугольника ABC
. Тогда \angle NCQ=\angle HCP
(см. задачу 20). Четырёхугольник ABPQ
вписанный, поэтому
\angle CQN=\angle CQP=180^{\circ}-\angle AQP=\angle ABP=\angle HBC.
Таким образом, два угла треугольника CNQ
соответственно равны острым углам прямоугольного треугольника CHB
. Следовательно,
\angle CNQ=\angle CHB=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.