13582. На продолжении стороны BC
треугольника ABC
за точку B
отложен отрезок BD=AB
. Точка M
— середина стороны AC
. Биссектриса угла ABC
пересекает прямую DM
в точке P
. Докажите, что \angle BAP=\angle ACB
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно стороне AC
, пересекает прямые CD
и AD
в точках X
и Y
соответственно. Тогда P
— середина отрезка XY
(см. задачу 2607).
Поскольку BP
— биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника ABD
, то BP\parallel DY
(см. задачу 1174), поэтому B
— середина отрезка DX
. Тогда BX=BD=AB
, и треугольники BPA
и BPX
с общей стороной BP
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle BAP=\angle BXP=\angle ACB.
Что и требовалось доказать.