13586. Даны окружность с центром O
и не пересекающая её прямая l
. Точка E
— проекция O
на прямую l
, M
— произвольная точка прямой l
, отличная от M
. Прямые, проходящие через точку M
, касаются окружности в точках A
и B
. Точки C
и D
— проекции точки E
на прямые MA
и MB
соответственно. Прямая CD
пересекает прямую OE
в точке F
. Докажите, что положение точки F
не зависит от выбора точки M
.
Решение. Пусть N
и P
— точки пересечения хорды AB
с OM
и OE
соответственно. Тогда прямая OM
— серединный перпендикуляр к хорде AB
(см. задачу 1180). Из точек E
и N
отрезок MP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MP
. Тогда по теореме о касательной и секущей
OM\cdot ON=OA^{2}=OB^{2}=r^{2},
где r
— радиус данной окружности. Следовательно, положение точки P
не зависит от выбора точки M
.
Пусть G
— проекция точки E
на прямую AB
. Из точек A
, B
и E
отрезок OM
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром OM
. Таким образом, из точки E
, лежащей на описанной окружности треугольника AMB
, опущены перпендикуляры ED
, EC
и EG
на прямые, содержащие стороны этого треугольника. Следовательно, точки D
, C
и G
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника AMB
и точки E
(см. задачу 83).
Обозначим \angle EGF=\alpha
. Точки A
, C
, E
и G
лежат на окружности с диаметром AE
, поэтому
\alpha=\angle EGF=\angle EGC=\angle EAC=\angle EAM,
а так как точки A
, B
и E
лежат на окружности с диаметром OM
, то
\angle PON=\angle EOM=\angle EAM=\alpha,
\angle EPG=\angle OPN=90^{\circ}-\angle PON=90^{\circ}-\alpha,
\angle FEG=\angle PEG=90^{\circ}-\angle EPG=\alpha=\angle EGF.
Значит, треугольник EFG
равнобедренный, EF=FG
, а так как
\angle FGP=90^{\circ}-\angle EGF=90^{\circ}-\alpha=\angle FPG,
то треугольник PFG
тоже равнобедренный, PF=FG
. Тогда PF=FG=FE
, т. е. F
— середина PE
. Следовательно, положение точки F
(как и точки P
) не зависит от выбора точки M
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 3, задача 5, с. 138
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1995, из материалов жюри