13589. На плоскости изображён четырёхугольник и прямые, содержащие биссектрисы трёх его углов. С помощью одной линейки постройте прямую, содержащую биссектрису четвёртого.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, а a
, b
, c
и d
— прямые, содержащие биссектрисы его углов A
, B
, C
и D
соответственно.
Случай I. Пусть ABCD
не является параллелограммом, например, прямые AB
и CD
не параллельны. Проведём прямую OP
через точку O
пересечения прямых AB
и CD
и точку P
пересечения прямых b
и c
. Пусть проведённая прямая пересекается с прямой a
в точке Q
. Тогда прямая DQ
есть искомая прямая d
.
Доказательство. Точка P
(в зависимости от того, выпуклый или невыпуклый четырёхугольник ABCD
и какой из его плоских углов больше 180^{\circ}
) — либо центр вписанной, либо вневписанной окружности треугольника BOC
(см. задачи 1140 и 1192). Значит, OP
— биссектриса угла BOC
. Тогда Q
— центр вневписанной или вписанной окружности треугольника OAD
. Следовательно, прямая DQ
— это искомая прямая d
.
Случай II. Пусть ABCD
— параллелограмм. Если это ромб, то искомая прямая d
совпадает с одной из данных прямых a
, b
, c
.
Пусть ABCD
— не ромб. Проведём прямую PO
через точку P
пересечения прямых b
и c
и точку O
пересечения диагоналей AC
и BD
. Затем построим точку Q
пересечения прямых PO
и a
. Тогда DQ
— искомая прямая d
.
Доказательство. Параллелограмм симметричен относительно точки пересечения его диагоналей, значит, прямая c
при этой симметрии переходит в a
, прямая PO
— в себя, точка P
— в Q
. Следовательно, прямая DQ
содержит биссектрису угла D
, т. е. совпадает с прямой d
.