13604. Точки I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
(AB\ne AC
). Вписанная окружность касается стороны BC
в точке D
. Докажите, что если IO\perp AD
, то AD
— симедиана треугольника ABC
.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением. В неравностороннем треугольнике ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
точки I
и O
— центры вписанной и описанной окружностей. На луче BC
отмечена точка P
, на луче AC
отмечена точка Q
, причём AQ=BP=c
. Тогда PQ\perp IO
(см. задачу 13494).
Для доказательства утверждения нашей задачи достаточно установить, что \frac{CD}{BD}=\frac{b^{2}}{c^{2}}
(см. задачу 4121).
Без ограничения общности считаем, что c
— наименьшая сторона треугольника ABC
.
Поскольку AD\perp IO
и PQ\perp IO
, то AD\parallel PQ
, поэтому треугольники ACD
и QPC
подобны. Значит,
\frac{CP}{CQ}=\frac{CD}{AC},~\mbox{или}~\frac{a-c}{b-c}=\frac{\frac{a+b-c}{2}}{b}=\frac{a+b-c}{2b},
откуда
a=\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}.
Следовательно,
\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{a+b-c}{2}}{\frac{a+c-b}{2}}=\frac{a+b-c}{a+c-b}=\frac{\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+b-c}{\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+c-b}=\frac{b^{2}}{c^{2}}.
Что и требовалось.