13609. Точки I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон AC
и AB
соответственно. Докажите, что если
I_{b}A^{2}+I_{b}C^{2}=BA^{2}+BC^{2}~\mbox{и}~I_{c}A^{2}+I_{c}B^{2}=CA^{2}+CB^{2},
то треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Пусть I_{a}
— центр вневписанной окружности ABC
, касающейся стороны BC
. Тогда I_{a}A
, I_{b}B
и I_{c}C
— высоты остроугольного треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769).
Обозначим, I_{b}I_{c}=a
, I_{a}I_{c}=b
, I_{a}I_{b}=c
, а углы при вершинах I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
— \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда из соответствующих прямоугольных треугольников получаем
I_{b}A=c\cos\beta,~I_{b}C=a\cos\beta,~I_{c}A=b\cos\gamma,~I_{c}B=a\cos\gamma,
а также (см. задачу 19)
BA=c\cos\gamma,~BC=a\cos\alpha,~CA=b\cos\beta,~CB=a\cos\alpha.
Значит,
I_{b}A^{2}+I_{b}C^{2}=c^{2}\cos^{2}\beta+a^{2}\cos^{2}\beta=(c^{2}+a^{2})\cos^{2}\beta,
BA^{2}+BC^{2}=c^{2}\cos^{2}\gamma+a^{2}\cos^{2}\alpha,
I_{c}A^{2}+I_{c}B^{2}=b^{2}\cos^{2}\gamma+a^{2}\cos^{2}\gamma=(b^{2}+c^{2})\cos^{2}\gamma,
CA^{2}+CB^{2}=b^{2}\cos^{2}\beta+a^{2}\cos^{2}\alpha.
Таким образом, получили систему
\syst{(c^{2}+a^{2})\cos^{2}\beta=c^{2}\cos^{2}\gamma+a^{2}\cos^{2}\alpha\\(b^{2}+c^{2})\cos^{2}\gamma=b^{2}\cos^{2}\beta+a^{2}\cos^{2}\alpha.\\}
Прибавив к обеим частям первого равенства b^{2}\cos^{2}\beta
, а к обеим частям второго — c^{2}\cos^{2}\gamma
, получим равенство
(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cos^{2}\beta=(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cos^{2}\gamma,
откуда \beta=\gamma
(поскольку \beta+\gamma\ne180^{\circ}
). Тогда из первое равенство системы примет вид
(c^{2}+a^{2})\cos^{2}\gamma=c^{2}\cos^{2}\gamma+a^{2}\cos^{2}\alpha,~\mbox{или}~a^{2}\cos^{2}\gamma=a^{2}\cos^{2}\alpha,
откуда \alpha=\gamma
. Значит, \alpha=\beta=\gamma
, и треугольник I_{a}I_{b}I_{c}
равносторонний, а так как
\alpha=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A,~\beta=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B,~\gamma=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C
(см. задачу 4770), то
\angle A=180^{\circ}-2\alpha,~\angle B=180^{\circ}-2\beta,~\angle C=180^{\circ}-2\gamma.
Следовательно, \angle A=\angle B=\angle C
, и треугольник ABC
тоже равносторонний.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 6, задача 2253 (1997, с. 300), с. 376