13622. Точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
и отлична от A
, B
и C
. Пусть S_{A}
— окружность с центром P
и радиусом AP
. Аналогично определяются окружности S_{B}
и S_{C}
. Пусть P_{A}
— отличная от P
точка пересечения окружностей S_{B}
и S_{C}
. Аналогично определяются точки P_{B}
и P_{C}
. Докажите, что точки P_{A}
, P_{B}
и P_{C}
лежат на одной прямой.
Решение. Линия центров BC
окружностей S_{B}
и S_{C}
перпендикулярна их общей хорде PP_{A}
и делит её пополам (см. задачу 1130).
Пусть Q_{A}
— точка пересечения PP_{A}
и BC
. Тогда Q_{A}
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
, на прямые, содержащие его стороны. Аналогично для соответствующих точек Q_{B}
и Q_{C}
. Тогда точки Q_{A}
, Q_{B}
и Q_{C}
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABC
и точки P
(см. задачу 83). При гомотетии с центром P
и коэффициентом 2, точки Q_{A}
, Q_{B}
и Q_{C}
переходят в точки P_{A}
, P_{B}
и P_{C}
соответственно. Следовательно, точки P_{A}
, P_{B}
и P_{C}
тоже лежат на одной прямой (прямой Штейнера). Что и требовалось доказать.