13632. Две окружности касаются внешним образом в точке P
. Через точку P
проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке A
, а вторую — в точке C
, а также другая прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке B
, а вторую — в точке D
. Оказалось, что четырёхугольник ABCD
вписанный. Докажите, что AC=BD
.
Решение. При гомотетии относительно точки касания P
, первая окружность переходит во вторую (см. задачу 6401), точка A
— в точку C
, а точка B
— в точку D
, а хорда AB
в хорду CD
. Значит, AB\parallel CD
(см. задачу 6403). Тогда ABCD
— трапеция с основаниями AB
и CD
или параллелограмм. В первом случае получаем вписанную трапецию, и её диагонали равны, т. е. AC=BD
. Во втором случае получаем прямоугольник, и его диагонали тоже равны.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 8, задача 10, с. 497