13634. Точки M_{1}
, M_{2}
, M_{3}
— середины высот треугольника ABC
, проведённых из вершин A
, B
, C
соответственно, T_{1}
, T_{2}
, T_{3}
— точки касания вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
, AC
, AB
соответственно. Докажите, что прямые M_{1}T_{1}
, M_{2}T_{2}
, M_{3}T_{3}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть AD
— высота треугольника ABC
, P
— точка касания вписанной окружности треугольника со стороной BC
, Q
— точка этой окружности, диаметрально противоположная точке P
.
При гомотетии с центром A
, переводящей вписанную окружность с центром I
во вневписанную с центром I_{1}
, касающуюся стороны BC
, точка I
переходит в I_{1}
, точка Q
— в T_{1}
(см. решение задачи 6411). Значит, точки A
, Q
и T_{1}
лежат на одной прямой, а медиана T_{1}M_{1}
треугольника ADT_{1}
делит пополам отрезок PQ
, параллельный стороне AD
(см. задачу 2607), т. е. проходит через его середину I
. Следовательно, прямая M_{1}T_{1}
проходит через точку I
.
Аналогично, прямые M_{2}T_{2}
и M_{3}T_{3}
проходят через точку I
. Что и требовалось.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 8, задача 2379 (1998, с. 425), с. 515