13647. Дан вписанный четырёхугольник
ABCD
, в котором
AD\gt BC
. Прямые
AB
и
CD
пересекаются в точке
X
, а прямые
BC
и
AD
— в точке
Y
. Биссектрисы углов
AXD
и
AYB
пересекают стороны
BC
и
CD
в точках
P
и
S
соответственно, а
Q
и
T
— основания перпендикуляров, опущенных из точек
P
и
S
на прямые
AD
и
AB
соответственно. Докажите, что четырёхугольник описанный тогда и только тогда, когда
PQ=ST
.
Решение. В данный четырёхугольник
ABCD
можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных равны, т. е.
AD+BC=AB+CD

(см. задачи 364 и 310).
Докажем, сначала, что площадь данного четырёхугольника равна
\frac{1}{2}(AD+BC)
. Во-первых, из вписанности четырёхугольника получаем, что
\angle BAD=\angle BCX
; во вторых, если
B'
и
C'
— точки, симметричные соответственно
B
и
C
относительно биссектрисы
XP
угла
AXD
, то треугольники
PBC'
и
PB'C
равны, так как они симметричны, поэтому четырёхугольники
ABCD
и
AC'B'D
равновелики. Кроме того,
\angle DAX=\angle XCB=\angle XB'C',

поэтому
AD\parallel B'C'
, т. е.
AC'B'D
— трапеция с основаниями
AD
и
B'C'=BC
и высотой
PQ
. Значит,
S_{ABCD}=S_{AC'B'D}=\frac{1}{2}PQ(AD+B'C')=\frac{1}{2}PQ(AD+BC).

Аналогично,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}ST(AB+CD),

Значит,
PQ(AD+BC)=ST(AB+CD).

Таким образом,
AD+BC=AB+CD~\Leftrightarrow~PQ=ST.

Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 6, задача 4386, с. 360