13651. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точка K
— радикальный центр окружностей \Gamma_{1}
, \Gamma_{2}
и \Gamma_{3}
с диаметрами BC
, CA
и AB
соответственно. Окружность \Gamma_{1}
пересекает отрезок AK
в точке D
, окружность \Gamma_{2}
пересекает отрезок BK
в точке E
, окружность \Gamma_{3}
пересекает отрезок CK
в точке F
. Площади треугольников ABC
, DBC
, ECA
и FAB
равны u
, x
, y
и z
соответственно. Докажите, что u^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
.
Решение. Пусть окружности \Gamma_{2}
и \Gamma_{3}
вторично пересекаются в точке P
. Тогда
\angle APB=\angle APC=90^{\circ}.
Значит, поскольку треугольник остроугольный, точка P
лежит на отрезке BC
, а AP
— высота треугольника ABC
. Следовательно, высота AP
— общая хорда пересекающихся окружностей \Gamma_{2}
и \Gamma_{3}
. Аналогично, высоты BQ
и CR
— общие хорды окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, \Gamma_{1}
и \Gamma_{3}
соответственно. Радикальный центр трёх попарно пересекающихся окружностей — точка пересечения трёх общих хорд (см. задачу 2844). Значит, радикальный центр K
трёх данных окружностей есть ортоцентр треугольника ABC
.
Точка D
лежит на окружности \Gamma_{1}
с диаметром BC
, поэтому \angle BDC=90^{\circ}
, а DP
— высота прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728), DP^{2}=BP\cdot CP
.
Прямоугольные треугольники BKP
и ACP
подобны, так как
\angle BKP=\angle AKQ=90^{\circ}-\angle CAP=\angle ACP.
значит,
\frac{BP}{AP}=\frac{KP}{CP}~\Rightarrow~AP\cdot KP=BP\cdot CP=DP^{2}.
Тогда
DP^{2}\cdot BC^{2}=(AP\cdot KP)(BC\cdot BC)=(AP\cdot BC)(KP\cdot BC)~\Rightarrow~
~\Rightarrow~4S^{2}_{\triangle BDC}=2S_{\triangle ABC}\cdot2S_{\triangle BKC}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~4u^{2}=4x\cdot S_{\triangle BKC}~\Rightarrow~x^{2}=u\cdot S_{\triangle BKC}.
Аналогично,
y^{2}=u\cdot S_{\triangle AKC},~z^{2}=u\cdot S_{\triangle AKB}.
Следовательно,
x^{2}+y^{2}+z^{2}=u\cdot S_{\triangle BKC}+u\cdot S_{\triangle AKC}+u\cdot S_{\triangle AKB}=
=u(S_{\triangle BKC}+S_{\triangle AKC}+S_{\triangle AKB})=u\cdot S_{\triangle ABC}=u\cdot u=u^{2}.
Что и требовалось доказать.