13666. Вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке D
, а вневписанная — в точке E
, причём AD=DE
. Докажите, что 2\angle BCA-\angle ABC=180^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
данного треугольника через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, противолежащие им стороны — через a
, b
и c
соответственно, полупериметр — через p
, а радиус описанной окружности — через R
.
Тогда BD=p-b
и BE=p
(см. задачи 219 и 1750), а по теореме косинусов из треугольников ABD
и ABE
получаем
AD^{2}=c^{2}+(p-b)^{2}-2c(p-b)\cos\beta,~AE^{2}=c^{2}+p^{2}-2cp\cos\beta.
Вычитая из первого равенства второе, получаем
-2pb+b^{2}+2cb\cos\beta=0~\Rightarrow~-2p+b+2bc\cos\beta=0~\Rightarrow
\Rightarrow~-(a+b+c)+b+2c\cos\beta=0~\Rightarrow~2c\cos\beta=a+c~\Rightarrow
\Rightarrow~2\cdot2R\sin\gamma\cos\beta=2R\sin\alpha+2R\sin\gamma~\Rightarrow~2\sin\gamma\cos\beta=\sin\alpha+\sin\gamma~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin(\gamma-\beta)=\sin\gamma,
а так как \gamma-\beta\ne\gamma
, то
(\gamma-\beta)+\gamma=180^{\circ}.
Следовательно,
2\gamma-\beta=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 1, задача 2503 (2000, с. 45), с. 55