13670. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно. Докажите, что если a\geqslant b\geqslant c
, то bc\leqslant6rR\leqslant a^{2}
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника. Тогда
S=\frac{abc}{4R}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r
(см. задачи 4259 и 452), поэтому
2rR=\frac{abc}{a+b+c}~\Rightarrow~6rR=\frac{3abc}{a+b+c},
а так как
a+b+c\leqslant3a~\mbox{и}~a+b+c\geqslant3c,
то
6rR=\frac{3abc}{a+b+c}\geqslant\frac{3abc}{3a}=bc~\mbox{и}~6rR=\frac{3abc}{a+b+c}\leqslant\frac{3abc}{3c}=ab\leqslant a^{2}.
Следовательно,
bc\leqslant6rR\leqslant a^{2}.
Очевидно, равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 2, задача 2512 (2000, с. 46), с. 142