13691. Продолжения медиан неравнобедренного треугольника ABC
, проведённых из вершин A
, B
и C
, пересекают описанную окружность треугольника в точках L
, M
и N
соответственно, причём LM=LN
. Докажите, что 2BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Пусть G
— точка пересечения медиан данного треугольника. Треугольник ACG
подобен треугольнику NGL
, а треугольник MLG
— треугольнику ABG
, поэтому
\frac{LN}{AC}=\frac{LG}{CG},~\frac{LM}{AB}=\frac{GL}{BG}.
Разделив первое равенство на второе и учитывая, что LM=LN
, после возведения в квадрат получим (см. задачи 1207 и 4014)
\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{CG}~\Rightarrow~\frac{c^{2}}{b^{2}}=\frac{\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4}(2c^{2}+2a^{2}-b^{2})}{\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4}(2b^{2}+2a^{2}-c^{2})}~\Rightarrow~\frac{c^{2}}{b^{2}}=\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{2b^{2}+2a^{2}-c^{2}}~\Rightarrow
\Rightarrow~(b^{2}-c^{2})(2a^{2}-c^{2}-b^{2})=0,
а так как b\ne c
, то
2a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 1, задача 5, с. 19
Источник: Иранские математические олимпиады. — 1996