13694. Пусть H
— ортоцентр тупоугольного треугольника ABC
, а A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— произвольные точки на сторонах BC
, AC
, AB
соответственно. Докажите, что отрезки касательных, проведённых из точки H
к окружностям с диаметрами AA_{1}
, BB_{1}
, C_{1}
(от точки H
до точек касания), равны.
Решение. Пусть \Gamma_{1}
, \Gamma_{2}
и \Gamma_{3}
— окружности с диаметрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно, а прямые HA
, HB
и HC
вторично пересекают эти окружности в точках D
, E
и F
соответственно. Тогда AD\perp BC
, BE\perp AC
и CF\perp AB
.
Поскольку
\angle ADA_{1}=\angle BEB_{1}=\angle CFC_{1}=90^{\circ},
окружности \Gamma_{1}
, \Gamma_{2}
и \Gamma_{3}
проходят через точки D
, E
и F
соответственно.
Пусть указанные в условии отрезки касательных к окружностям \Gamma_{1}
, \Gamma_{2}
и \Gamma_{3}
, равны t_{1}
, t_{2}
и t_{3}
соответственно.
Из точек D
и E
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Тогда
t_{1}^{2}=HA\cdot HD=HB\cdot HE=t_{2}^{2}
(см. задачи 2636 и 93). Следовательно, t_{1}=t_{2}
. Аналогично, t_{1}=t_{3}
. Таким образом
t_{1}=t_{2}=t_{3}.
Что и требовалось доказать.