13703. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота AD
из вершины прямого угла. Биссектрисы углов ABD
и ADB
пересекаются в точке I_{1}
, а биссектрисы углов ACD
и ADC
— в точке I_{2}
. Найдите острые углы треугольника ABC
, если сумма расстояний от точек I_{1}
и I_{2}
до прямой AD
равна \frac{1}{4}BC
.
Ответ. 30^{\circ}
и 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, AD=h
. Пусть расстояния от точек I_{1}
и I_{2}
до прямой AD
равны r_{1}
и r_{2}
соответственно. Поскольку I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей прямоугольных треугольников ABD
и ACD
соответственно, а r_{1}
и r_{2}
— радиусы этих окружностей, то (см. задачу 217)
2r_{1}=AD+BD-AC,~2r_{2}=AD+DC-AC.
Тогда
2(r_{1}+r_{2})=2AD+BC-AB-AC,~\mbox{или}~\frac{a}{2}=2h+a-c-b,
а так как h=\frac{bc}{a}
(см. задачу 1967), то
\frac{a}{2}=\frac{2bc}{a}+a-c-b~\Leftrightarrow~a^{2}-2a(b+c)+4bc=0~\Leftrightarrow~(a-2b)(a-2c)=0.
Если a-2b=0
, то a=2b
. Следовательно (см. задачу 1179), \angle ABC=30^{\circ}
и \angle ACB=60^{\circ}
.
Если a-2c=0
, то a=2c
. Следовательно, \angle ACB=30^{\circ}
и \angle ABC=60^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 5, задача 7, с. 298
Источник: Испанские математические олимпиады. — 1996-1997