13706. Прямая t
и окружность \omega
не имеют общих точек. Точка E
лежит на прямой t
, причём OE\perp t
. Из другой точки M
прямой t
проведены две прямые, касающиеся окружности \omega
в точках A
и B
. Отрезки AB
и OE
пересекаются в точке X
. Докажите, что X
не зависит от E
.
Решение. Из точек A
, B
и E
отрезок OM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OM
. Тогда (см. задачи 2627 и 2635).
XO\cdot XE=XA\cdot XB=OA^{2}-OX^{2}.
Значит,
OX\cdot XE+OX^{2}=OA^{2}~\Rightarrow~OX(XE+OX)=OA^{2}~\Rightarrow~OX\cdot OE=OA^{2},
откуда OX=\frac{OA^{2}}{OE}
. Следовательно, X
не зависит от E
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 7, задача 3, с. 425
Источник: Латвийские математические олимпиады. — 1997