13712. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
, противолежащие вершинам A
, B
и C
соответственно. Найдите отношение AC:AB
, если \tg\alpha:\tg\beta:\tg\gamma=1:2:3
.
Ответ. \frac{2\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Из условия задачи следует, что
\tg\beta=2\tg\alpha,~\tg\gamma=3\tg\alpha,
а так как
\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma,
(см. задачу 3277), то
6\tg\alpha=6\tg^{3}\alpha.
Тогда либо \tg\alpha=0
, что невозможно, либо \tg\alpha=-1
, что тоже невозможно, либо \tg\alpha=1
. В последнем случае \alpha=45^{\circ}
.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Треугольник ACH
прямоугольный и равнобедренный, поэтому AH=CH
, а так как треугольник остроугольный, то точка H
лежит на стороне AB
(см. задачу 127б). Значит,
AB=AH+HB=AH+CH\ctg\beta=CH+\frac{1}{2}CH=\frac{3}{2}CH.
Кроме того, AC=CH\sqrt{2}
. Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{CH\sqrt{2}}{\frac{3}{2}CH}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.