13716. Выпуклый четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром O
. Точки E
и F
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
и ADC
соответственно. Докажите, что точки A
, O
и центр описанной окружности треугольника AEF
лежат на одной прямой.
Решение. Из условия следует, что луч AO
— биссектриса угла BAD
и
AB+CD=BC+AD,~\mbox{или}~AD-CD=AB-BC.
Пусть вписанная окружность треугольника ADC
касается AC
в точке H
. Тогда (см. задачу 219)
2AH=AC+AD-CD=AC+AB-BC.
Аналогично, если вписанная окружность треугольника ABC
касается AC
в точке H'
, то
2AH'=AC+AB-BC=2AH.
Значит, точки H
и H'
совпадают, и AH\perp EF
, т. е. AH
— высота треугольника AEF
.
Пусть K
— центр описанной окружности треугольника AEF
. Тогда (см. задачу 20)
\angle EAK=\angle HAF=\frac{1}{2}\angle HAD.
Кроме того, \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAH
. Значит,
\angle BAK=\angle BAE+\angle EAK=\frac{1}{2}\angle BAH+\frac{1}{2}\angle HAD=\frac{1}{2}BAD.
Таким образом, луч AK
(как и луч AO
) — биссектриса угла BAD
. Следовательно, точки A
, O
и K
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 2, задача 2715 (2002, с. 111), с. 117