13726. Вписанная окружность (с центром I
) треугольника ABC
касается сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно, IM
— биссектриса треугольника BIC
, отрезки EF
и AM
пересекаются в точке P
. Докажите, что DP
— биссектриса треугольника DEF
.
Решение. Пусть прямые, проведённые через точки B
и C
параллельно EF
, пересекают прямую AM
в точках X
и Y
соответственно. Из подобия треугольников BMX
и CMY
и свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем
\frac{CY}{BX}=\frac{CM}{BM}=\frac{CI}{BI}.
Учитывая подобие треугольников ACY
и AEP
, подобие треугольников ABX
и AFP
, а также равенство отрезков AE
и CF
, получаем
\frac{EP}{FP}=\frac{EP}{CY}\cdot\frac{BX}{FP}\cdot\frac{CY}{BX}=\frac{AE}{AC}\cdot\frac{AB}{AF}\cdot\frac{CY}{BX}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}.
Обозначим \angle ABI=\angle CBI=\beta
, \angle ACI=\angle BCI=\gamma
. По теореме синусов
\frac{AB}{AC}=\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta}=\frac{2\sin\gamma\cos\gamma}{2\sin\beta\cos\beta}=\frac{\sin\gamma\cos\gamma}{\sin\beta\cos\beta},~\frac{CI}{BI}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.
Значит,
\frac{EP}{FP}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=\frac{\sin\gamma\cos\gamma}{\sin\beta\cos\beta}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{\cos\gamma}{\cos\beta}.
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
. Эта окружность описана около треугольника DEF
, поэтому по теореме синусов, а также по теореме об угле между касательной и хордой
DE=2r\sin\angle DEF=2r\sin EDC=2r\sin(90^{\circ}-\angle DCI)=
=2r\sin(90^{\circ}-\gamma)=2r\cos\gamma.
Аналогично, DF=2r\cos\beta
. Тогда
\frac{DE}{DF}=\frac{2r\cos\gamma}{2r\cos\beta}=\frac{\cos\gamma}{\cos\beta}=\frac{EP}{FP}.
Следовательно (см. задачу 1510), DP
— биссектриса треугольника DEF
. Что и требовалось доказать.