13735. Вершина A
треугольника ABC
соединена с внутренней точкой A'
стороны BC
. Проведены биссектрисы A'D
и A'E
треугольников AA'B
и AA'C
. Докажите, что отрезки BE
и CD
пересекаются на прямой AA'
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AD}{DB}=\frac{A'A}{A'B},~\frac{CE}{EA}=\frac{A'C}{A'A},
поэтому
\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AA'}{A'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{A'C}{A'A}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621), прямые BE
, CD
и AA'
пересекаются в одной точке. Отсюда следует утверждение задачи.