13754. Окружность с центром O
, вписанная а ромб ABCD
, касается сторон AB
и AD
в точках M
и N
соответственно. Некоторая касательная к этой окружности пересекает отрезки AM
и AN
в точках E
и F
соответственно, а прямые BC
и CD
— в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника AMON
есть среднее геометрическое площадей треугольников AEF
и CPQ
.
Решение. Пусть p
и q
— полупериметры треугольников AEF
и PCQ
. Вписанная в данный ромб окружность есть вневписанная окружность треугольника AEF
и вписанная окружность треугольника PCQ
, поэтому, если радиус этой окружности равен r
, а радиус вписанной окружности треугольника AEF
равен \rho
, то
AN=AM=p,~S_{\triangle PCQ}=pr,~S_{\triangle AEF}=q\rho
(см. задачи 1750 и 452).
Поскольку AD\parallel BC
и AB\parallel CD
, треугольники AEF
и CQP
подобны. Значит, \frac{\rho}{r}=\frac{p}{q}
, или q\rho=pr
. Следовательно,
S_{\triangle AEF}\cdot S_{\triangle CPQ}=q\rho\cdot pr=(pr)^{2}=S_{AMON}^{2}.
Что и требовалось доказать.