13800. Пусть AD
— высота треугольника ABC
, H
— ортоцентр, а E
и M
— середины отрезков AD
и BC
соответственно.
а) Докажите, что если AD=BC
, то HM=HE
.
б) Верно ли обратное?
Ответ. б) Верно.
Решение. Докажем, что HM=HE
тогда и только тогда, когда AD=BC
.
Выберем прямоугольную систему координат xDy
, направив ось Dx
по лучу DC
, а ось Dy
— по лучу DA
. Пусть указанные в условии точки имеют координаты
D(0;0),~A(0;2),~E(0;1),~B(b;0),~C(c;0),~(b\lt c).
Тогда точка M
имеет координаты M\left(\frac{b+c}{2};0\right)
, угловой коэффициент прямой AB
равен -\frac{2}{b}
, а угловой коэффициент прямой, проходящей через точку C
перпендикулярно AB
, равен -\frac{1}{\left(-\frac{2}{b}\right)}=\frac{b}{2}
(см. задачу 4207). Значит, уравнение этой прямой имеет вид
y-0=\frac{b}{2}(x-c)
(см. задачу 4205).
Подставив в это уравнение x=0
, получим, что прямая CH
пересекает ось Dy
в точке H\left(0;-\frac{bc}{2}\right)
. Тогда по формуле расстояния между точками
HM^{2}-HE^{2}=\left(\frac{b+c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{bc}{2}\right)^{2}-\left(1+\frac{bc}{2}\right)^{2}=
=\frac{1}{4}(b^{2}+2bc+c^{2}+b^{2}c^{2}-4-4bc-b^{2}c^{2})=
=\frac{1}{4}(b^{2}-2bc+c^{2}-4)=\frac{1}{4}((b-c)^{2}-4)^{2}=\frac{1}{4}(BC^{2}-AD^{2}).
Следовательно, HM=HE
тогда и только тогда, когда AD=BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 5, задача 3160 (2006, 305, 308), с. 316