13825. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Точка P
, отличная от B
и C
, лежит на меньшей дуге BC
описанной окружности этого треугольника. Точка D
— вершина параллелограмма APCD
, K
— ортоцентр треугольника ACD
, а точки E
и F
— проекции точки K
на прямые BC
и AB
соответственно. Докажите, что прямая EF
проходит через середину отрезка HK
.
Решение. Поскольку K
— ортоцентр треугольника ACD
, то AK\perp CD
, а так как CD\parallel AP
, то AK\perp AP
. Значит, точка A
лежит на окружности с диаметром KP
. Аналогично, точка C
лежит на окружности с диаметром KP
. Следовательно, окружность с диаметром KP
совпадает с описанной окружностью треугольника ACP
, т. е. с описанной окружностью \Gamma
треугольника ABC
. Тогда точка K
лежит на окружности \Gamma
, а прямая EF
— это прямая Симсона треугольника ABC
(см. задачу 83). Поскольку прямая Симсона точки K
делит пополам отрезок, соединяющий точку K
с ортоцентром треугольника ABC
(см. задачу 6093), отсюда следует утверждение задачи.