6093. Точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот треугольника. Докажите, что прямая Симсона, соответствующая точке P
, делит отрезок PH
пополам.
Решение. Первый способ. Пусть P_{1}
, P_{2}
и P_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые AB
, AC
и BC
соответственно. Тогда точки P_{1}
, P_{2}
и P_{3}
лежат на одной прямой — прямой Симсона (см. задачу 83).
Пусть прямая PP_{3}
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке Q
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка P
лежит на дуге BC
, не содержащей точки A
, точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой PQ
, точка C
— по другую). Вписанные углы AQP
и ACP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AQP=\angle ACP
. Из точек P_{2}
и P_{3}
отрезок CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CP
, поэтому четырёхугольник CP_{2}P_{3}P
— вписанный. Тогда
\angle QP_{3}P_{2}=180^{\circ}-\angle PP_{3}P_{2}=\angle PCP_{2}=\angle ACP=\angle AQP.
Следовательно, AQ\parallel P_{2}P_{3}
.
Пусть H'
и P'
— точки, симметричные точкам соответственно H
и P
относительно прямой BC
. Тогда точка H'
лежит на описанной треугольника ABC
и
\angle HP'P=\angle H'PP'=\angle H'PQ=\angle AQP,
поэтому HP'\parallel AQ
. Следовательно, P_{2}P_{3}\parallel HP'
.
Прямая P_{2}P_{3}
параллельна стороне HP'
треугольника PP'H
и проходит через её середину P_{3}
. Следовательно, прямая P_{2}P_{3}
(т. е. прямая Симсона, соответствующая точке P
) проходит через середину стороны PH
этого треугольника. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любой другой точки P
, отличной от вершин треугольника ABC
.
Второй способ. Прямая, гомотетичная с центром P
и коэффициентом 2 прямой Симсона, соответствующей точке P
, проходит через ортоцентр H
треугольника ABC
(см. задачу 4877). Следовательно, прообраз точки H
при этой гомотетии — середина отрезка PH
.
Примечание. Заметим, что в частном случае, когда точка P
лежит на окружности с центром O
, описанной около равностороннего треугольника, прямая Симсона, соответствующая точке P
, делит пополам радиус OP
.
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — с. 13
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 180, с. 49; № 186, с. 50
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 160, с. 195
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — с. 59
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.96, с. 117
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.117, с. 115
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 39(б), с. 101
Источник: Тайваньские математические олимпиады. — 1998
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 2, задача 5, с. 75