6093. Точка
P
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
,
H
— точка пересечения высот треугольника. Докажите, что прямая Симсона, соответствующая точке
P
, делит отрезок
PH
пополам.
Решение. Первый способ. Пусть
P_{1}
,
P_{2}
и
P_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки
P
на прямые
AB
,
AC
и
BC
соответственно. Тогда точки
P_{1}
,
P_{2}
и
P_{3}
лежат на одной прямой — прямой Симсона (см. задачу 83).
Пусть прямая
PP_{3}
вторично пересекает описанную окружность треугольника
ABC
в точке
Q
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка
P
лежит на дуге
BC
, не содержащей точки
A
, точки
A
и
B
лежат по одну сторону от прямой
PQ
, точка
C
— по другую). Вписанные углы
AQP
и
ACP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AQP=\angle ACP
. Из точек
P_{2}
и
P_{3}
отрезок
CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
CP
, поэтому четырёхугольник
CP_{2}P_{3}P
— вписанный. Тогда
\angle QP_{3}P_{2}=180^{\circ}-\angle PP_{3}P_{2}=\angle PCP_{2}=\angle ACP=\angle AQP.

Следовательно,
AQ\parallel P_{2}P_{3}
.
Пусть
H'
и
P'
— точки, симметричные точкам соответственно
H
и
P
относительно прямой
BC
. Тогда точка
H'
лежит на описанной треугольника
ABC
и
\angle HP'P=\angle H'PP'=\angle H'PQ=\angle AQP,

поэтому
HP'\parallel AQ
. Следовательно,
P_{2}P_{3}\parallel HP'
.
Прямая
P_{2}P_{3}
параллельна стороне
HP'
треугольника
PP'H
и проходит через её середину
P_{3}
. Следовательно, прямая
P_{2}P_{3}
(т. е. прямая Симсона, соответствующая точке
P
) проходит через середину стороны
PH
этого треугольника. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любой другой точки
P
, отличной от вершин треугольника
ABC
.
Второй способ. Прямая, гомотетичная с центром
P
и коэффициентом 2 прямой Симсона, соответствующей точке
P
, проходит через ортоцентр
H
треугольника
ABC
(см. задачу 4877). Следовательно, прообраз точки
H
при этой гомотетии — середина отрезка
PH
.
Примечание. Заметим, что в частном случае, когда точка
P
лежит на окружности с центром
O
, описанной около равностороннего треугольника, прямая Симсона, соответствующая точке
P
, делит пополам радиус
OP
.