13827. CD
и CE
— соответственно биссектриса и медиана треугольника ABC
. Докажите, что CD+CE\lt AC+BC
.
Решение. Во-первых (см. примечание к задаче 5477 и задачу 3399):
CD\lt\frac{2AC\cdot BC}{AC+BC}\leqslant\frac{AC+BC}{2},
во-вторых (см. задачу 3504):
CE\lt\frac{AC+BC}{2}.
Следовательно,
CD+CE\lt\frac{AC+BC}{2}+\frac{AC+BC}{2}=AC+BC.
Что и требовалось доказать.