13830. Точки O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Биссектриса угла BAC
пересекает описанную окружность в точке D
. Точки E
и F
симметричны точке D
относительно прямой BC
и точки O
соответственно, M
— середина стороны BC
, а G
— точка пересечения AE
и FH
. Докажите, что GM\perp AF
.
Решение. Заметим, что DF
— диаметр окружности \Gamma
, описанной около треугольника ABC
, точка D
окружности \Gamma
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
, а FD
— серединный перпендикуляр к стороне BC
.
Если AB=AC
, то точки D
, M
, O
, E
, G
, A
и F
лежат на одной прямой, что противоречит условию. Значит, AB\ne AC
. Без ограничения общности считаем, что AC\gt AB
.
Для решения задачи достаточно доказать, что AHEF
— параллелограмм. Тогда G
— середина AE
, GM
— средняя линия треугольника AED
, GM\parallel AD
, а так как DF
— диаметр окружности \Gamma
, то AD\perp AF
, откуда будет следовать, что GM\perp AF
.
Первый способ. Обозначим BC=a
, \angle BAC=\alpha
, R
— радиус окружности \Gamma
. Тогда
\angle MCD=\angle BCD=\angle BAD=\frac{\alpha}{2},
и из прямоугольного треугольника CMD
находим, что
MD=MC\tg\angle MCD=\frac{a}{2}\tg\frac{\alpha}{2}.
Значит,
EF=DF-DE=DF-2MD=2R-a\tg\frac{\alpha}{2}=2R-2R\sin\alpha\tg\frac{\alpha}{2}=
=2R\left(1-2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)=2R\left(1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)=2R\cos\alpha.
С другой стороны,
\angle COM=\frac{1}{2}\angle COB=\frac{1}{2}\cdot2\angle BAC=\alpha,
поэтому из прямоугольного треугольника CMO
получаем
OM=OC\cos\angle COM=R\cos\alpha.
Значит (см. задачу 1257),
AH=2OM=2R\cos\alpha=EF,
а так как AH\parallel EF
, то AHEF
— параллелограмм. Что и требовалось.
Второй способ. Пусть луч AH
пересекает окружность \Gamma
в точке T
. Тогда T
— точка, симметричная точке H
относительно прямой BC
(см. задачу 4785), а так как трапеции HTDE
и ATDF
равнобедренные, то
\angle HED=\angle EDT=\angle AFE.
Значит, AF\parallel HE
, и AHEF
— параллелограмм. Что и требовалось.