13843. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором \angle BAC=60^{\circ}
, AB=c
и AC=b
, причём b\gt c
; точки H
и O
— ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Прямая OH
пересекает AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что:
а) периметр треугольника AXY
равен b+c
;
б) OH=b-c
.
Решение. а) Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, OM
— перпендикуляр к BC
. Тогда
\angle COM=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC=60^{\circ},
AH=2OM=2\cdot OC\cdot\cos\angle COM=2R\cos60^{\circ}=R=AO
(см. задачу 1257). Значит, треугольник OAM
равнобедренный, поэтому \angle AHB=\angle AOY
как углы, смежные с углами при основании OH
этого треугольника. Кроме того, \angle HAX=\angle OAY
(см. задачу 20), поэтому треугольники HAX
и OAY
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AX=AY
, и треугольник AXY
равносторонний.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BHX=\angle AXM-\angle XBE=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle BXH,
значит, BX=HX
. Аналогично, CY=HY
. Следовательно,
AX+XY+AY=AX+(HX+HY)+AY=(AX+HX)+(HY+AY)=
=(AX+BX)+(CY+AY)=c+b.
Что и требовалось доказать.
б) На луче AC
отложим отрезок AZ=AB=c
. Тогда
ZC=b-c,~YZ=BX=HX=OY
(см. пункт а)). Значит, треугольник YOZ
равнобедренный, и
\angle YOZ=\angle YZO=\frac{1}{2}\angle AYX=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ},
а так как
\angle HCZ=30^{\circ}=\angle YZO,
то OZ\parallel CH
и
\angle OHC=\angle YOZ=30^{\circ}=\angle HCZ.
Тогда HZO
— равнобедренная трапеция. Следовательно,
OH=ZC=b-c.
Что и требовалось доказать.