13857. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Докажите, что середины отрезков AB
и CH
, а также точка пересечения биссектрис углов CAH
и CBH
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Пусть AA'
и BB'
— высоты треугольника ABC
; M
, N
и O
— середины отрезков AB
, A'B'
и CH
соответственно; P
— точка пересечения CH
и A'B'
; Q
— точка пересечения биссектрис углов CAA'
и CBB'
. Докажем, что точки M
, O
и Q
лежат на одной прямой.
Точки O
, N
и M
лежат на одной прямой — прямой Гаусса четырёхугольника A'CB'H
(см. задачу 6149). Этот четырёхугольник вписанный, так как отрезок CH
виден из точек A'
и B'
под прямым углом. Четырёхугольник ABA'B'
тоже вписанный, так как отрезок AB
виден из точек A'
и B'
под прямым углом. Значит, OA'=OB'
и MA'=MB'
. Точки O
и M
равноудалены от концов отрезка A'B'
, следовательно, прямая OM
— серединный перпендикуляр к этом отрезку. Тогда, учитывая, что \angle PA'C=\angle BAC=\alpha
(см. задачу 141), получаем
\angle HOM=\angle PON=90^{\circ}-\angle NPO=90^{\circ}-\angle A'PC=
=90^{\circ}-(180^{\circ}-\angle PA'C-\angle A'CP)=\angle PA'C+\angle BCH-90^{\circ}=
=\alpha+(90^{\circ}-\beta)-90^{\circ}=\alpha-\beta.
Следовательно,
\angle AMO=90^{\circ}-\angle HOM=90^{\circ}-\alpha+\beta.
Поскольку \angle BAA'=90^{\circ}-\beta
и \angle A'AC=90^{\circ}-\gamma
, то
\angle BAQ=\angle BAA'+\frac{1}{2}A'AC=90^{\circ}-\beta+\frac{1}{2}(90^{\circ}-\gamma)=
=135^{\circ}-\beta-\frac{\gamma}{2}.
Аналогично,
\angle ABQ=135^{\circ}-\alpha-\frac{\gamma}{2}.
Значит,
\angle AQB=180^{\circ}-\angle BAQ-\angle ABQ=
=180^{\circ}-\left(135^{\circ}-\beta-\frac{\gamma}{2}\right)-\left(135^{\circ}-\beta-\frac{\gamma}{2}\right)=
=\alpha+\beta+\gamma-90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Медиана QM
прямоугольного треугольника AQB
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109), поэтому треугольник AMQ
равнобедренный, AM=MQ
. Значит,
\angle AMQ=180^{\circ}-2\angle MAQ=180^{\circ}-2\left(135^{\circ}-\beta-\frac{\gamma}{2}\right)=
=90^{\circ}-\alpha+\beta=\angle AMO.
Следовательно, точки M
, O
и Q
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.