13860. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, а высота, опущенная на сторону a
, равна h_{a}
. Докажите, что
(b+c)^{2}\geqslant a^{2}+4h^{2}.
Решение. Пусть \alpha
— угол, противолежащей стороне A
, а l_{a}
— биссектриса треугольника, проведённая из вершины этого угла. Тогда (см. задачу 4021) l_{a}=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}
, а так как \frac{b+c}{2}\geqslant\sqrt{bc}
(см. задачу 3399), или (b+c)^{2}\geqslant4bc
, то
l_{a}^{2}=\frac{4b^{2}c^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{(b+c)^{2}}=bc\cdot\frac{4bc}{(b+c)^{2}}\cdot\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\leqslant bc\cdot\frac{(b+c)^{2}}{(b+c)^{2}}\cdot\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=bc\cos^{2}\frac{\alpha}{2}.
Значит,
h_{a}^{2}\leqslant l_{a}^{2}\leqslant bc\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=bc\cdot\frac{1+\cos\alpha}{2}=bc\cdot\frac{1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}=\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4},
откуда
(b+c)^{2}-a^{2}\geqslant4h_{a}^{2}.
Следовательно,
(b+c)^{2}\geqslant a^{2}+4h^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 6, задача 6, с. 388
Источник: Исландские математические олимпиады. — 2004-2005