13875. Точка Q
лежит на окружности с диаметром AB
и отлична от A
и B
, QH
— перпендикуляр к AB
. Окружность с центром Q
и радиусом QH
пересекает окружность с диаметром AB
в точках C
и D
. Докажите, что прямая CD
проходит через середину отрезка QH
Решение. Пусть O
— центр окружности с диаметром AB
, Q'
точка этой окружности, диаметрально противоположная точке Q
, M
и N
— точки пересечения CD
с QH
и QO
соответственно. Точка Q
лежит на окружности с диаметром QQ'
, поэтому \angle QDQ'=90^{\circ}
.
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), поэтому DN
— высота прямоугольного треугольника DQQ'
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728),
QH^{2}=QD^{2}=QQ'\cdot QN.
Из подобия прямоугольных треугольников QNM
и QHO
получаем
\frac{QM}{QN}=\frac{QO}{QH}~\Rightarrow~QM\cdot QH=QO\cdot QN.
Значит,
QM\cdot QH=QO\cdot QN=\frac{1}{2}QQ'\cdot QN=\frac{1}{2}QH^{2},
откуда QM=\frac{1}{2}QH
. Следовательно, M
— середина отрезка QH
. Что и требовалось доказать.