13876. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, причём отрезки AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке, а четырёхугольники ACDF
и BCEF
вписанные. Докажите, что AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
.
Решение. Четырёхугольник ACDF
вписанный, а вписанные углы ACF
и ADF
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ACF=\angle ADF
. Аналогично, поскольку четырёхугольник BCEF
вписанный, то \angle ECF=\angle EBF
. Значит, из точек C
и B
, лежащих по одну сторону от прямой EF
, отрезок EF
виден под одним и тем же углом. Тогда четырёхугольник PDBF
тоже вписанный (см. задачу 12). Аналогично, четырёхугольник PEAF
вписанный. Значит,
\angle EFA=\angle EPA=\angle DPB=\angle DFB.
Из вписанности четырёхугольников PEAF
и ACDF
также получаем, что
\angle PFE=\angle PAE=\angle DAC=\angle DEC=\angle PFE=\angle CFE=\angle PFD.
Тогда
\angle CFA=\angle PFA=\angle PFE+\angle AFE=\angle PFD+\angle DFB=\angle CFB.
Значит,
\angle CFA=\angle CFB=90^{\circ}.
Аналогично,
\angle BEA=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle CDA=90^{\circ}.
Следовательно, AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Верно также следующее утверждение. Если точка P
лежит на высоте CF
треугольника ABC
, а прямые AP
и BP
пересекают стороны BC
и AC
в точках D
и E
соответственно, то \angle PFD=\angle PFE
(см. задачу 1206).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 4, задача 6, с. 231
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2005