13881. Точки M
, N
и P
— середины меньших дуг соответственно BC
, AC
и AB
описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника, p
— полупериметр. Докажите, что
S_{\triangle MBC}+S_{\triangle NCA}+S_{\triangle PAB}\geqslant p(3r-R).
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Поскольку треугольник ABC
остроугольный, центр O
его описанной окружности лежит внутри треугольника, а так как диагонали четырёхугольников NBOC
, NAOC
и PAOB
перпендикулярны, то
S_{\triangle ABC}+S_{\triangle MBC}+S_{\triangle NCA}+S_{\triangle PAB}=S_{NBOC}+S_{NAOC}+S_{PAOB}=
=\frac{1}{2}aR+\frac{1}{2}bR+\frac{1}{2}cR=pR
(см. задачу 3018). Кроме того, S_{\triangle ABC}=pr
(см. задачу 452), поэтому
S_{\triangle MBC}+S_{\triangle NCA}+S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}pR-S_{\triangle ABC}=pR-pr=p(R-r),
а так как R\geqslant2r
(см. задачу 3587), и
R-r\geqslant3r-R~\Leftrightarrow~2R\geqslant4r~\Leftrightarrow~R\geqslant2r.
то
S_{\triangle MBC}+S_{\triangle NCA}+S_{\triangle PAB}\geqslant p(3r-R).
Что и требовалось доказать.